العدد الزائد والناقص ( نشأة الأعداد )

[الاستاذ على الدين يحيى]

عندما تطورت حياة الإنسان، وبدأ ينتقل إلى مرحلة أكثر تعقيداً، وأكثر رقياً، وأخذ يتعامل مع غيره، في التجارة، عن طريق المبادلة، أو المقايضة، شعر بالحاجة إلى أعداد كبيرة نوعاً ما، مما جعله يفكر في طريقة أخرى غير استخدام الحصى، وكانت تلك طريقة استخدام الأصابع في الدلالة على الكميات؛ فقد كانت الأصابع أسهل وسيلة، وأقربها إلى الإنسان، لإجراء عملية العد وضبطها، يقابل الإنسان بين الأشياء المختلفة وبين أصابعه، أصبعاً أصبعاً، وهكذا نشأ العدد، وحيثما وجد الأسلوب العددي، وُجد العد على الأصابع سابقاً له، أو مصاحباً له. والواقع أن الإنسان يجد في أصابعه أداة تمكنه من أن ينتقل بطريقة سهلة إلى العدد الترتيبي، فاستخدم أصابع اليد، ثم القدمين، ولا زالت كلمةDigits" " الانجليزية (وهي تساوي كلمة بضع بالعربية، أي رقم دون العشرة)، والتي تعني الأصابع، تستعمل للتعبير عن الأرقام.
وقد ظهر استخدام الأصابع قبل أن توجد فكرة الأرقام، أي أن اليد كانت "العداد الطبيعي" أو "الآلة الحاسبة"، التي لا زال الكثيرون يستخدمونها إلى الآن. وقد استخدمت بعض قبائل المايا القديمة في الأمريكتين، كلمات مثل "يد" لتدل على "خمسة"، و "رجل" لتدل على "عشرة"، أو اليدين كلتيهما للدلالة على "عشرة"، وربما مجموع أصابع اليدين والقدمين للدلالة على "عشرين". وهكذا كانت نواة ظهور الأنظمة العددية: الخماسي، والعشري، والعشريني كالآتي:
أولاً: النظام الخماسي
نشأ هذا النظام حين كان الإنسان لا يعد إلا على أصابع يد واحدة. ومردُّ ذلك إلى أن الإنسان البدائي، نادراً ما كان يتجول هنا وهناك؛ بحثاً عن مصادر العيش، ويمارس حياته، دون أن يمسك بإحدى يديه، وهي اليمنى في الغالب، عصاً أو سلاحاً ما؛ فإذا أراد أن يعد، عدَّ على يده اليسرى. ومن المعلوم أن الذي يستخدم يده اليمنى، يلجأ غالباً إلى استعمال يده اليسرى في العد. وإذا قورنت كلمة "خمسة" في اللغات السنسكريتية، والفارسية، والروسية، وجدناها تدل على معنى اليد.
ثانياً: النظام العشري
كانت أصابع الإنسان العشرة وراء اختراع النظام العشري، وهو يُمثَّل من خلال مجموعات، يتكون كل منها من عشرة، وقد ظهر هذا النظام لدى عدد من الشعوب القديمة ـ كما سيأتي ـ فكان من يقوم بالعد منهم، يجعل كل عشرة أعواد في حُزمة، وبهذا يكون عدد الأعواد عشرة أمثال عدد الحزم. فإذا زاد عدد الحزم كثيراً، فربما يخطر له أن يعتبر كل حزمة كأنها عود واحد؛ فيجعل حزماً جديدة، كل منها قوى العشرة. وقد تتكرر هذه العملية بأعداد هائلة، مما أدى إلى إدراك المئات، والآلاف، وعشرات الآلاف، وهكذا .
النظام العشريني: هو ضعف النظام العشري، ويقوم على اعتبار أصابع الإنسان (في اليدين والقدمين) وحدة واحدة، قوامها 20، ولا نزال نجد آثاراً من النظام العشريني، في الكثير من اللغات، ففي الإنجليزية كلمة Score على الوحدة التي تساوي عشرين، ويعدون بها. وفي الفرنسية يعبرون عن الثمانين بقولهم "أربع عشرينات" وعن 95 بقولهم أربع عشرينات وخمسة عشر، أما في اللغة الدانمركية، فلا يزال النظام العشريني يُستعمل بانتظام في تسمية الأعداد، التي تقل عن (100)، ووحدتها العشرون (20، 40، 60، 80).
ولا زالت قبائل هنود "المايا" في أمريكا الوسطى، وغيرها، إلى يومنا هذا، تستخدم هذا النظام. وكان اليوم عند تلك القبائل مقسماً إلى عشرين ساعة، وكانت فرقة الجيش مكونة من 8000 (أي 20 × 20 × 20).
وهكذا، يرجع الفضل إلى أصابع الإنسان في نجاحه في العد، ودون هذه الأداة، ما كان الأسلوب العددي عند الإنسان ليتقدم إلى أبعد من الإحساس العددي الفطري. ويظل العد على الأصابع مستخدماً، إلى يومنا هذا. وإلى عهد قريب، كان العد على الأصابع عادة منتشرة في غرب أوروبا، إلى درجة إنه لا يوجد كتاب مدرسي يعد نموذجياً، ما لم يبين كيفية العد كاملة باستخدام الأصابع.
عجائب العد على الأصابع
عن طريق الأصابع، ظهرت قواعد جمع الأعداد، وضربها. وإلى يومنا هذا، يستخدم الفلاح في وسط فرنسا طريقة غريبة في ضرب الأعداد التي تزيد على (5)؛ فإذا أراد أن يضرب 9 × 8 مثلاً، فإنه يثني 4 أصابع من يده اليسرى (فيكون معنى ذلك 9 لأنه يقصد زيادة الأربعة المثنية على أصابع اليسرى الخمسة)، ويثني 3 أصابع من يده اليمنى (معناها 8 بالطريقة نفسها)، ويكون عدد الأصابع المثنية كلها دالاً على رقم العشرات (7)، بينما حاصل ضرب الأصابع غير المثنية دالاً على رقم الآحاد (2). أي أن الناتج 72!

[الاستاذ على الدين يحيى]

وقد لوحظ وجود طرق أخرى تشبه هذه الطريقة في أماكن أخرى، مثل صربيا، وسورية، وتركيا. ويبدو أن هذه الطريقة تعود إلى الرومان، الذين كانت إمبراطوريتهم القديمة تشمل هذه الأماكن.
وقد أمكن استخدام الأصابع في الدلالة على أعداد مختلفة لا حصر لها، وذلك بصنع أشكال مختلفة من خلال ثني بعض الأصابع بطرائق معينة. فقد كانت اليد هي العداد الطبيعي، وقد ألف بعض الناس، في القرون الوسطى، استخدام طريقة الأصابع، على مدى واسع، في تجاراتهم مع بعضهم البعض، ومع الأجانب؛ حتى أصبحت كأنها لغة عالمية تدل على الكميات، وقد استخدموا اليد اليسرى لتدل على الأعداد من 1 إلى 90، واليد اليمنى، لتشمل المئات من 100 إلى 900، أي أنهم استطاعوا أن يمثلوا المقادير اللازمة لهم، في التجارة، عن طريق أصابع اليدين. وما زال بعض الصينيين يستخدمون هذه الطريقة إلى الآن، ويستخدمونها بمهارة فائقة لدرجة أنهم يستطيعون المساومة، أثناء الشراء والبيع، بتحريك أصابعهم دون أن يفهم غيرهم ما يفعلون.
هناك أنظمة عددية أخرى، غير الخماسي، والعشري، والعشريني، مثل:
النظام الثنائي:
استخدم الحاسب الآلي النظام الثنائي للأعداد بديلاً عن النظام العشري، وذلك لأن الدوائر الإلكترونية تستطيع التعامل مع هذا النظام بطريقة مباشرة وبسيطة.
ويتكون النظام الثنائي للأعداد من:
أولاً: الرقمان صفر، 1
ثانياً: أساس قاعدة النظام، وهو (2)
ثالثاً: أوزان خانات النظام، وهي 02، 12، 22، ...
ومثال على ذلك الرقم 101 الذي يمكن تمثيله كالآتي:
(1101)2 = 1×02 + 0×12 + 1×22 + 1×32
= 1×1 + 0×2 + 1×4 + 1×8 = 13
وقد انبثق عن النظام الثنائي للأعداد كل من النظام الثماني للأعداد، والنظام السداسي عشر للأعداد.
النظام الثماني:
يتم تجميع كل ثلاثة أعداد ثنائية متتالية في عدد من أعداد النظام الثماني، ويتكون النظام الثماني من:
أولاً: الأرقام صفر، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7
ثانياً: أساس قاعدة النظام، وهو (8)
ثالثاً: أوزان خانات النظام، وهي 08، 18، 28، ...
ومثال على ذلك، الرقم الثنائي (111101)2 يمكن تحويله عن طريق تجميع كل ثلاثة أرقام ثنائية إلى ما يقابلها في النظام الثماني، وعليه يتم تحويل 101 إلى 5، و 111 إلى 7 بإتباع الطريقة السابقة، ليصبح الرقم (111101)2 مساوياً (75)8 والذي يمكن تمثيله على النحو التالي:
(75)8 = 5×08 + 7×18 = 5×1 + 7×8 = 61
النظام السداسي عشر
يتم تجميع كل 4 أعداد ثنائية متتالية في عدد من النظام السداسي عشر. ويتكون النظام السداسي عشر من:
أولاً: الأرقام صفر، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، 12، 13، 14، 15
ثانياً: أساس قاعدة النظام، وهو (16)
ثالثاً: أوزان خانات النظام، وهي 016، 116، 216، 316 ...
وعندما يتم اللجوء إلى النظام الثماني أو النظام السداسي عشر كوسيلة مختصرة لتمثيل النظام الثنائي للأرقام. فنفس الرقم (16) تم تمثيله برقمين فقط في النظام الثماني، مقابل 6 أرقام في النظام الثنائي .
ولتحويل الأعداد الستة عشرية إلى أعداد عشرية أضف في منازل الأرقام بدلالة الأعداد العشرية. وتوضح الحسابات أدناه كيفية تحويل العدد الستة عشري (5 هـ 0 ب) إلى العدد العشري 450285

[الاستاذ على الدين يحيى]

النشأة الأولى للأرقام في العالم

وقبل الكلام عن غريزة العد في المخلوقات يجدر بالبحث أن يقدِّم تعريفاً للعد، والعدد، والأرقام، والحساب؛ فأمَّا العدُّ: فهو إحصاء الشيء.
وأما العدد: فهو مقدار ما يُعدُّ ومبلغه، وجمعه أعداد.
ومنه العدائد: وهو المال المقتسم والميراث، وهي جمع عديدة: وهي الحصة.
وأما الرقم: فهو الكتابة والختم.
والترقيم: هو تقييد الأعداد.
وأما الحساب: فقد عرَّفه عبدالرحمن بن خلدون، في مقدمته، بقوله:
"هو صناعة عملية في حساب الأعداد بالضم والتفريق، والضم يكون في الأعداد بالأفراد وهو الجمع، وبالتضعيف، تضاعف عدداً بآحاد عدد آخر، وهذا هو الضرب، والتفريق أيضاً يكون في الأعداد، أما بالأفراد مثل إزالة عدد من عدد ومعرفة الباقي، وهو الطرح، أو تفضيل عدد بأجزاء متساوية تكون عدتها محصلة، وهو القسمة، سواء كان في هذا الضم والتفريق على التصحيح من العدد أو التكسير". والحساب أساس جميع الفروع الرياضية، سواء كانت بحتة أو تطبيقية، وهو أكثر العلوم نفعاً، وربما لا يوجد فرع آخر، في المعرفة الإنسانية، أكثر انتشاراً بين الناس مثله. وموضوعه العدد، والعدد إما مفرد وإما مركب:
فالمفرد: ما وقع في مرتبة واحدة كالواحد، والإثنين، والعشرة والتسعين.
والمركب: ما وقع في مرتبتين أو أكثر، كأحد عشر، وكمائة وثلاثة وثلاثين.
والعدد أيضاً إما زوج، وإما فرد:
فالزوج وهو أنواع:
1. زوج الزوج : وهو العدد الذي ينقسم إلى قسمين متساويين، وهو ما يقبل التنصيف إلى الواحد، مثل:
8 و 16 و 32
وزوج الفرد: وهو ما يتنصف مرة واحدة فقط، مثل: 12 و 20

وأما الفرد فهو:
أي عدد لا يمكن تقسيمه إلى نصفين، بحيث يكون كل منهما عدداً صحيحاً، مثل 1، 3، 7، 11
وهو غير العدد الأولي: الذي هو عدد كامل لا يقبل القسمة، دون باق، على أي عدد آخر، خلاف الواحد الصحيح، وذلك مثل:
3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 43، وهكذا.
عوامل العدد: هي الأرقام التي يقبل العدد القسمة عليها، فمثلاً: 1، 2، 3، 4، 6 هي عوامل العدد 12، لأنه يقبل القسمة عليها كلها.
والأعداد، بشكل عام، أنواع: تامة، وزائدة، وناقصة، ومتحابة.

أولاً: الأعداد التامة :

كل عدد يتساوى مجموع عوامله مع العدد نفسه، يسمى تاماً، وأصغر الأعداد التامة 6، فعواملها 1، 2، 3 مجموعها 6، يلي ذلك 28، وعوامله 1، 2، 4، 7، 14، مجموعها 28، ومن الأعداد التامة 496، و 8128، و 33550336 ولا يوجد في الآحاد سوى 6، وفي العشرات سوى 28، وفي المئات سوى 496، وفي الآلاف سوى 8128. وهي دائماً تبدأ إما بالرقم 6 أو 8 في آحادها. وهي دائماً أعداد زوجية. وجميع الأعداد التامة 17 عدداً فقط.
أما الأعداد الزائدة:
فهي كل عدد مجموع عوامله أكبر منه، مثل العدد 12، الذي مجموع عوامله (1، 2، 3، 4، 6) 16 أكبر منه.
وأما الأعداد الناقصة:
فهي كل عدد مجموع عوامله أصغر من العدد نفسه، مثل العدد 10، فإن مجموع عوامله (1، 2، 5) 8 أقل منه.
وأما الأعداد المتحابة:
وهي كل عددين مزدوجين، أحدهما ناقص، والثاني زائد، إذا كان مجموع عوامل كل منهما مساوياً للآخر، مثل العددين 220، وهو عدد زائد، و 284 وهو عدد ناقص.
(لاحظ أن:
عوامل العدد 220 هي 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 وأن عوامل العدد 284 هي 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

[الاستاذ على الدين يحيى]

بالإضافة إلى ذلك هناك العدد التخيلي، والعدد الذري، والعدد الكتلي، والعدد الماخي، والعدد المركب، وبيانها كالتالي:
العدد التخيلي
ظهر نتيجة البحث عن حلول للمعادلة س2 = -1، حيث لا يوجد جذر للأعداد السالبة، وفي الرياضيات القديمة اُعتقد أن هذه المعادلة ليس لها حلاً، حتى عام 1777 حين قام العالم السويسري ليونارد إيلر بتعريف الرمز الحديث ت وقيمته ويسمى العدد التخيلي، وهو يظهر كثيراً في الجبر (جبر المتجهات)، ويدل على أن المقياس ( الإحداثي) الذي يمثله يتعامد على المركبة الأفقية (أي يصنع معها زاوية مقدارها 90 ْ).
العدد الذري
عدد البروتونات الموجودة في نواة الذرة، وهو العدد الذي يمثل العنصر في الجدول الدوري للعناصر، فمثلاً العدد الذري للأكسجين8، وهذا يعني أن ذرة الأكسجين تحتوي على ثمانية بروتونات في نواتها.
العدد الكتلي
هو مجموع عدد البروتونات والنيوترونات الموجودة في نواة الذرة، ويمكن وجود عدد كتلي أو أكثر حسب نظير العنصر (نظير العنصر: يوجد العدد نفسه من البروتونات ولكن يختلف عدد النيوترونات وبالتالي يختلف المجموع وهو العدد الكتلي)
العدد الماخي
النسبة بين سرعة أية طائرة أو قذيفة وبين سرعة الصوت. ومن ثم فإن العدد الماخي 2 يعني ضعف سرعة الصوت، والعدد الماخي 0.75 يعني ثلاثة أرباع سرعة الصوت. ويختلف العدد الماخي لأية سرعة محددة باختلاف الارتفاع والفصل من السنة، وموقع الطيران.
العدد المركب
عدد يتكون من جزء حقيقي وآخر تخيلي.. وتستخدم مثل هذه الأعداد لتحليل البعض الآخر منها، فضلاً عن استخدامها في نظرية التيارات الكهربائية المترددة.
هناك أيضاً الأعداد الصماء: وهي الأعداد التي لا يمكن التعبير عنها بعدد كامل، أو كسر من عدد كالجذر التربيعي.
كيف نشأت الحاجة إلى العد
الرياضيات القديمة اُعتقد أن هذه المعادلة ليس لها حلاً، حتى عام 1777 حين قام العالم السويسري ليونارد إيلر بتعريف الرمز الحديث ت وقيمته ويسمى العدد التخيلي، وهو يظهر كثيراً في الجبر (جبر المتجهات)، ويدل على أن المقياس (الإحداثي) الذي يمثله يتعامد على المركبة الأفقية (أي يصنع معها زاوية مقدارها 90 ْ).

[الاستاذ على الدين يحيى]

الكمية كوحدة للعد :
تشير الدلائل إلى أن فكرة الإنسان الأول عن الكميات لم تكن واضحة تمام الوضوح؛ فكان ينظر إلى الأشياء التي يراها، باعتبارها وحدة واحدة؛ فإذا كانت مجموعة من الحيوان مثلاً، نظر إليها على أنها وحدة واحدة، وليست أفراداً. ولعل أول طريقة عبر بها القدماء عن الكمية كانت باستخدام الإشارة بالأيدي للدلالة على مقدار الكمية؛ فهي كثيرة جداً، أو كثيرة، أو قليلة، أو قليلة جداً، وكان في كل حالة يفتح الذراعين بقدر معلوم للدلالة على تلك الكمية كوحدة، وهذا يشبه معاملة الأطفال الصغار عندما يعبرون عن الشيء الكثير قبل أن تكون لديهم فكرة عن معنى الأعداد، وأسمائها، وعن النظام العدي، أي أن فكرة الإنسان البدائي عن الكميات كانت فكرة تقريبية، وليست فكرة مضبوطة تماماً. كما أنه لم يستخدم كلمات أو رموزاً للتعبير عن الكمية.
وأتت، بعد ذلك، مرحلة استخدم فيها الإنسان الأشياء، وأوصافها للتعبير عن الكميات. ولم يكن الراعي ليدرك مثلاً أنه يملك خمسة رؤوس من الأغنام، وإنما استخدم الكلمات لمعرفة كميتها، بقوله:
إن عنده واحدة لونها أبيض، وواحدة لونها بني، وواحدة ذات قرون طويلة، وما يشبه ذلك، أي أنه يعرفها فرداً فرداً، بقدر ما تسمح به ذاكرته، وبقدر عدد القطيع، حتى إذا بلغ مقداراً لا تعيه ذاكرته، أو التبست عليه الألوان، أو تعددت الأنواع، وأصبح لديه من كل نوع، أو لون، كمية معينة، شعر بعجز تلك الطريقة، وبدأ يفكر في طريقة أخرى أكثر دقة في العد .
وكانت المرحلة الثانية، هي مرحلة المطابقة بين الشيء ونظيره، أو "واحد لواحد"، كما ذكر البحث من قبل، وتتلخص هذه الطريقة في المقارنة بين الشيء وما يناظره. وكانت تلك النظائر في أول الأمر أشياء بسيطة سهلة، يراها الإنسان، ويحس بها، أو مجموعات معروفة له، كأصابع اليدين، وأجنحة الطير أو مخالبها، وأذني الإنسان، وما شابه ذلك. ومن أمثلة هذا أن يقول رجل لآخر: "قتلت اليوم من الذئاب قدر ما للنعامة من أظلاف" أو "إن عنده من النساء قدر ما عند الإنسان من آذان". وفكرة مقارنة الأشياء بمجموعات معروفة، مثل: الأنف، والأذنين، وأوراق نبات البرسيم، وأظلاف النعام، وأصابع اليد، تقابل اليوم 1، 2، 3، 4، 5، على الترتيب.
ولا ريب أن فكرة التجميع قد سهلت على الإنسان البدائي عملية التفكير في مجموعات تمثِّل المقادير، ولكن هذه المجموعات كانت صغيرة، ولا تصلح للكميات الكبيرة، وهذا ولَّد لدى الإنسان الشعور بالحاجة إلى اختراع طريقة أخرى من طرق المطابقة، وكانت تلك هي طريقة استخدام الحصى، فعدد أفراد القطيع، أو السهام، أو الأشجار، التي يملكها، أو كمية الطير التي اصطادها، يمكن أن يعرف مقدارها عن طريق مطابقتها مع كمية معينة من الحصى. وما زال أفراد بعض القبائل الهندية، في ولاية أريزونا يحمل كيساً به مجموعة من الحصى تطابق كمية ما عنده من الخيل. وقد استخدم بعض الأقدمين بدلاً من المطابقة بالحصى نوعاً من الأحجار المستطيلة على هيئة عصى يحفرون عليها علامات. وكل علامة تقابل فرداً مما يملكون، بحيث يدل مقدار الحفرات، أو الحزَّات على عدد هذا الشيء. ولكن البعض تخلص من الجهد اللازم للحفر على الحجر؛ فاستخدام فروعاً من الأشجار يسجل عليها علاماته بعمل حزات بآلة حادة لتمثل الكميات، التي لديه. ولجأ آخرون إلى استخدام ألياف الأشجار، وعمل عُقد عليها بقدر الكمية الموجودة. ولا شك أن طريقة المقارنة جعلت الإنسان يشعر بشيء من الثقة في معرفة كمية ما عنده من أشياء، عند مقارنتها بالعلامات أو بالحصى.

[عبدة قورة]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
مشكوووووور والله يعطيك الف عافيه