إثبات أن : أ َجتا أ + ب َجتا ب + جـ َجتا جـ = 4 نق جا أ جا ب جاجـ

[على محمد المصرى]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

اثبت ان أ َجتا أ + ب َجتا ب + جـ َجتا جـ = 4 نق جا أ جا ب جاجـ

[شحات جامع]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
نرسم المثلث أ ب ج ونرسم الدائرة م المارة برؤسه
مساحة المثلث أ ب ج =مساحة أب م+مساحة أم ج+مساحة ب م ج-----(1)
مساحة أ م ب= 1/2 نق أب جاأب م = 1/2ج شرطة نق جا(180-م)/2
= 1/2ج نق جا(180-2ج)/2 = 1/2 نق ج جتاج------(2)
بالمثل مساحة المثلث أم ج= 1/2ب نق جتاب----(3) كذلك مساحة ب م ج= 1/2أ نق جتاأ-----(4)
ولكن مساحة المثلث أب ج= 1/2أ ب جاج =2نق^2 جاأ جاب جاج-----(5) بالتعويض فى 1 وضرب الطرفين فى 2
أ جتا أ +ب جتاب +ج جتاج=4 نق جاأ جاب جاج

[شحات جامع]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
حل اخر
الايمن=(2 نق جاأ)جتاأ+(2نق جاب)جتاب +(2نق جاج)جتاج=نق( جا2أ+جا2ب+جا2ج)-----(1)

ولكن جا2أ +جا2ب+جا2ج=جا2أ +جا2ب -جا(2أ+2ب)=2جا(أ+ب)جتا(أ-ب)-2جا(أ+ب)جتا(أ+ب)

=2جا(أ+ب)(جتا(أ-ب)-جتا(أ+ب)) =2جا(أ+ب) * 2جاأ جاب ولكن جا(أ+ب)=جاج
=4جاأجاب جاج اذن

أجتاأ +ب جتاب+ج جتاج=4نق جاأجاب جاج

[الاستاذ على الدين يحيى]

رائع - مع جزيل الشكر