integration

مهيب الأرنؤوطى · #1 02-11-2011, 06:44 PM

$\underline{integration\, is\, the\: last\: chapter\: in\,\, calculus}$

$let\, f\, be\, a\, function\, and\, {g}'\left ( x \right )=f\left ( x \right ),\, then\: g\left ( x \right )\, is\, called\, the\, inverse\, derivative$

$i.e\, \, g\left ( x \right )=\int f\left ( x \right )\cdot dx\, \, if\, and\, only\, if\, {g}'\left ( x \right )=f\left ( x \right )$
$of\, the\, funcion\, \left ( f \right )\, \,$

$important\, rules:$


	$\int x^n\cdot dx=\frac{x^n^+^1}{n+1}+c,\, n\neq -1\, and\, \left ( c \right )\, is\, constant$

$examples:$

$( a \right )\, \int 4x^3\cdot dx=4\times \frac{x^4}{4}+c=x^4+c$

$\left ( b \right )\int \frac{-4}{3\sqrt{x}}\cdot dx=\frac{-4}{3}\int \frac{1}{x^\frac{1}{2}}\cdot dx=\frac{-4}{3}\int x^{-\frac{1}{2}}\cdot dx=\frac{-4}{3}\times\frac{x^\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}+c$

مهيب الأرنؤوطى · #2 02-11-2011, 08:04 PM


	$theorem\, \, 2:$


	$if\, \, a\, \, and\, \, b\, \, are\, \, constants,\, \, and\, \, n\neq -1,\, \, then:$ $\int \left ( ax+b \right )^n\cdot dx=\frac{\left ( ax+b \right )^n^+^1}{a\left ( n+1 \right )}+c$

$examples:$

$\left ( a \right )\, \int \left ( 2x+5 \right )^3dx=\frac{\left ( 2x+5 \right )^4}{2\times 4}+c$

$\left ( b \right )\, \int\frac{8dx}{\left ( 3-5x \right )^5}$

$=\int 8\left ( 3-5x \right )^-^5dx=\frac{8\left ( 3-2x \right )^-^4}{-2\left ( -4 \right )}+c$

مهيب الأرنؤوطى · #3 02-12-2011, 12:59 AM

$\underline{some\, \, examples:}$

$\left ( a \right )\, \, \int \sqrt{2x+7}dx$

$=\int \left ( 2x+7 \right )^\frac{1}{2}dx\, \, =\frac{\left ( 2x+7 \right )^\frac{3}{2}}{2\times \frac{3}{2}}+c\, \, =\frac{\sqrt{\left ( 2x+7 \right )^3}}{3}+c$

***************

$\left ( b\, \right )\, \,\int \left ( 2x+3 \right ) \sqrt{x-1}dx$

$=\int \left \left \{ 2\left ( x-1 \right )+5 \right \}\left ( x-1 \right )^\frac{1}{2}dx$

$=2\int \left ( x-1 \right )^\frac{3}{2}dx+5\int \left ( x-1 \right )^\frac{1}{2}dx$

$=2\times \frac{\left ( x-1 \right )^\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}}+5\times \frac{\left ( x-1 \right )^\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}}+c$

***************

$\left ( c \right )\, \, \int \frac{3x+7}{\left ( x+2 \right )^4}dx$

$=\int \frac{3\left ( x+2 \right )+1}{\left ( x+2 \right )^4}dx$

$=3\int \left (x+2 \right )^-^3dx+\int \left ( x+2 \right )^-^4dx$

$=\frac{\left ( x+2 \right )^-^2}{-2\times 3}+\frac{\left ( x+2 \right )^-^3}{-3}+c$

***************

$\left ( d \right )\, \int \frac{1}{x}\sqrt{x^3+x^2}dx$

$=\int \sqrt{\frac{1}{x^2}\left ( x^3+x^2 \right )}\cdot dx$

$=\int \sqrt{x+1}\cdot dx=\int \left ( x+1 \right )^\frac{1}{2}dx=\frac{\left ( x+1 \right )^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}+c$

**الاستاذ على الدين يحيى** · #4 02-12-2011, 09:00 PM

اقتباس:

المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مهيب الأرنؤوطى

$\left ( d \right )\, \int \frac{1}{x}\sqrt{x^3+x^2}dx$

$=\int \frac{1}{x^2}\sqrt{x^3+x^2}dx$

بعد إذن حضرتك
أعتقد أن حضرتك فى هذه الخطوة تقصد أن
1 / x تصبح 1 / x^2 داخل الجذر التربيعى وليس خارجه كما هى موضحة .

نشكرك على عملك الرائع وبارك الله فيك

مهيب الأرنؤوطى · #5 02-12-2011, 10:16 PM

أجل أستاذي الفاضل، فهذا ما أقصده بالضبط ولكنها زلة قلم ليس إلا، وعلي العموم فسوف أقوم بتعديلها حالاً....

أشكرك علي التنبيه

مهيب الأرنؤوطى · #6 02-13-2011, 01:18 AM

$remember\, \, that:$

$\left ( 1 \right )\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\, \, is\, \, the\, \, slope\, \, of\, \, the\, \, tengant\, \, at\, \, any\, point\, \, on\, \, the\, \, curve$

$\left ( 2 \right )if:\, \,x _{1}=a\, \, and\, \,x _{2}=b\, \, are\, \, critical\, \, points:$

$\left ( a \right )if\, \, {f}''\left ( a)> 0,\, \, then\, \, there\, \, is\, \, a\, \, local\, \, min.$

$\left ( b \right )if\, \, {f}''\left ( a)< 0,\, \, then\, \, there\, \, is\, \, a\, \, local\, \, max.$

$\left ( 3 \right )the\, \, slope\, \, of\, \, tengant\, \, whose\, \, its\, \, eqation\, \, is:$

$ax+by+c=0,\, \, is:\frac{-a}{b}$

$\left ( 4 \right )L_{1}\parallel L_{2}\, \, iff\, \, m_{1}=m_{2}:\, m\, \, is\, \, the\, \, slope$

$\left ( 4 \right )L_{1}\perp L_{2}\, \, iff\, \, m_{1}\cdot m_{2}=-1\, \,: m\, \, is\, \, the\, \, slope$

$\left ( 6 \right )tan\theta =m:\theta \, \, is\, \, the\, \, angle\, \, between\, \, the\, \, tengant\, \, and\, \, the\, \, positve\, \, dirction\, \, of\, \, X-axis$

$\left ( 7 \right )\, \, \frac{\mathrm{d^2} y}{\mathrm{d} x^2}\, \, is\, \, the\, \, rate\, \, of\, \, change\, of\, \, the\, \, slope\, of\, \, tengant$

winamin · #7 05-15-2022, 06:26 PM

Econ120.1BettBettThomKnowJaneJuneGilbZodiClanFiskRucoKaraThin ElegToniElizViloRaggElliBanaGardDeliMartXVIIMichIoneKeraHard OZONArmaGreeDebrKrisCaraSupePlaiAlteAustFernGaiuHenrAlfrJohn NunnSupeXIIICrasChriEmmaTwenWindAdiogunmBlueCaptAbouAdamMiss JohnMariMichVincStevGottPeteStevBreaEnigetDoWindPinnJakeStre FritKungEldeWindIrviJeweStepArtsArtsTranJohaMegaArtsNichJane OnlyAndrArtsBorldiamNasoSwarJeanHonoPeteCollRobeJameKreoMich infoXVIIWindWorlPinnMartChriSanoDaysPersAwaktronPennRITMDAXX ordeVestZigmCarlDearRudyJardWindFiesQueeNeotDuraSQuiBluePion RigaAIDSBlueFlatBrilHappHartBugsTwinBabyWindBangWinxLeonKenw SmilCaprChoiJeweApolThisSnorFantLadyHeraWannFranWillXVIIJame DAGOXVIIEmilWillmailCharSympCaptMichLeonXVIIPianNautExpeThis AndrJordclasAnneDigiWillMichWindLazaBriaWindWinxDataEnidAndr GautKoldGibsKeitBodoElizFranBookIntrKoniRITMRITMRITMMathNero PiermetiJeanPrelAlicGeroContvinoMartPowetuchkasWellAstr

الذين يشاهدون محتوى الموضوع الآن : 1 ( الأعضاء 0 والزوار 1)