فلسفة الرياضيات

[الاستاذ على الدين يحيى]

دردشة فلسفية فى علم الرياضيات
اوراق فلسفية متناثرة فى دروس الرياضيات ( منقولة من منتديات تعليمية شتى ) .

معيار الحقيقة في الرياضيات - هل يكمن في البداهة والوضوح ؟

المقدمة ( طرح المشكلة ) :
توصف المعرفة الرياضية بالصناعة الصحيحة واليقينية في منطلقاتها ونتائجها ، لكن التساؤل عن معيار اليقين في الرياضيات كشف انه ليس معيارا واحدا في الرياضيات الاقليدية والرياضيات المعاصرة ، ذلك ان الرياضيات الاقليدية تعتقد جازمة ببداهة ووضوح مبادئها وترى فيها النموذج الوحيد في الصدق المطلق ، اما الرياضى المعاصر فلا تهمه المباديء ذاتها لأنها تشكل مقدمات في النسق الرياضي ، بقدر ما يهمه النسق الرياضي في مجمله أي أن عدم تناقض المقدمات مع النتائج هو معيار اليقين في الرياضيات . وفي ذلك نطرح السؤال التالى :

هل معيار اليقين في الرياضيات يتمثل في بداهة ووضوح مبادئها ام يتمثل في اتساق نتائجها مع مقدماتها؟

الاطروحة الاولى ( معيار اليقين في الرياضيات يتمثل في بداهة ووضوح مبادئها )
أسست الرياضيات الكلاسيكية تاريخيا قبل عصر النهضة بقرون عدديدة قبل الميلاد على يد فيلسوف ورياضي يوناني مشهور اسمه اقليدس (306ق.م/253ق.م)، اذ سيطرت رياضياته الكلاسيكية على العقل البشري حتى نهاية القرن التاسع عشر الميلادي، حتى ظن العلماء انها الرياضيات الوحيدة التي تمتاز نتائجها بالصحة والمطلقية.
اعتمدت الرياضيات الكلاسيكية على مجموعة من المباديء او المنطلقات التي لا يمكن للرياضى التراجع في البرهنة عليها الى ما لا نهاية ، فهي قضايا اولية وبدائية لا يمكن استخلاصها من غيرها ، وهي مباديء لاتحتاج الى برهان على صحتها لانها واضحة بذاتها من جهة ولانها ضرورية لقيام المعرفة الرياضية من جهة اخرى ، يستخدمها الرياضي في حل كل قضاياه الرياضية المختلفة، فما هي هذه المبادئ ؟

التعريفات الرياضية definitions mathematiquales
هى اولى القضايا التى يلجأ اليها الرياضى من اجل بناء معنى رياضى وإعطائه تمييزا يختلف عن غيره من المعانى الرياضية الاخرى ، ومن أهم التعريفات الاقليدية الرياضية ، نجد تعريف المثلث بانه شكل هندسى له ثلاثة اضلاع متقاطعة مثنى مثنى مجموع زواياه تساوى 180 درجة . والنقطة هي شكل هندسي ليس لها ابعاد ، او هي حاصل التقاء خطين . والخط المستقيم هو امتداد بدون عرض .

البديهيات les axiomes
هى قضايا واضحة بذاتها ، صحيحة وصادقة بذاتها لاتحتاج الى دليل على صحتها برأى الكلاسيكيين ، أى لايمكن للعقل اثباتها أي تفرض نفسها على العقل بوضوحها لانها تستند الى تماسك مباديء العقل مع ذاته ، فهي قضايا قبلية نشأت في العقل قبل التجربة الحسية ، وهى قضايا حدسية يدركها العقل مباشرة دون برهان او إستدلال ، كما انها قضايا تحليلية موضوعها لايضيف علما جديدا الى محمولها ، ومنها بديهيات اقليدس التى تقول :
ان الكل اكبر من الجزء والجزء اصغر من الكل .
الكميتان المساويتان لكمية ثالثة متساويتان .
وبين نقطتين لايمكن رسم الا مستقيما واحدا .
وأذا أضيفت كميات متساوية الى اخرى متساوية تكون النتائج متساوية .

المصادرات les postulats
تسمى احيانا بالاوليات واحيانا بالموضوعات . واحيانا بالمسلمات لأن الرياضى هو الذى يضعها فهى اذن قضايا لا نستطيع البرهنة على صحتها وليست واضحة بذاتها ، أى فيها تسليم بالعجز ، ولذلك نلجأ الى التسليم بصحتها . ومن مصادرات اقليدس نجد :
مثلا من نقطة خارج مستقيم لانستطيع رسم الا مستقيما واحدا مواز للمستقيم الاول .
المستقيمان المتوازيان مهما امتدا لايلتقيان .
المكان سطح مستوي درجة انحنائه يساوي صفر وله ثلاثة ابعاد هي الطول والعرض والارتفاع .
مجموع زوايا المثلث تساوى قائمتين .
وتسمى هذه المبادئ فى مجموعها بالمبادئ الرياضية الكلاسيكية او بمبادئ النسق الاكسيوماتيكى نسبة الى كلمة اكسيوم والتى تعنى فى العربية البديهية . وهو نسق قائم على التمييز بين هذه المبادىء الثلاثة .

مناقشة ( نقد الاطروحة ) :
ان الهندسة الكلاسيكية التي كانت حتى القرن 19 مأخوذة كحقيقة رياضية مطلقة ، أصبحت تظهر كحالة خاصة من حالات الهندسة وما كان ثابتا ومطلقا اصبح متغيرا ونسبيا ، وفي هذا المعنى يقول بوليغان bouligand (( ان كثرة الانظمة في الهندسة لدليل على ان الرياضيات ليس فيها حقائق مطلقة.)). فماهي هذه الانظمة التي نزعت من الرياضيات الكلاسيكية صفة اليقين المطلق ؟

الاطروحة الثانية ( معيار اليقين في الرياضيات يتمثل في اتساق النتائج مع المقدمات ) :
لقد حاول الرياضيون في مختلف العصور ان يناقشوا مبادئ الهندسة الاقليدية ، ولم يتمكنوا منها الا في العصر الحديث ، وهي أطروحة ترى ان معيار الصدق في الرياضيات لا يتمثل في وضوح المبادئ وبداهتها ولكن يتمثل في مدى انسجام وتسلسل منطقي بين الافتراضات او المنطلقات وبين النتائج المترتبة عنها ، وهي اطروحة حديثة تتعرض بالنقد والتشكيك في مباديء ونتائج الرياضيات الكلاسيكية . اطروحة مثلها الفرنسي روبير بلانشي والروسي لوبا تشيفسكي والالماني ريمان . فما هي هذه الانتقادات والشكوك ؟

انتقد الفرنسى روبير بلانشى فى كتابه ( الاكسيوماتيكا ) المبادىء الثلاثة للرياضيات الكلاسيكية :

* التعريفات الاقليدية ووصفها بانها تعريفات لغوية لاعلاقة لها بالحقيقة الرياضية فهى تعريفات نجدها فى المعاجم اللغوية فهى بذلك لاتهم الا اللغة .
* هى تعرفات وصفية حسية تصف المكان الهندسى كما هو موجود حسيا فى ارض الواقع وهى بذلك تعريفات تشبه الى حد بعيد التعريفات فى العلوم الطبيعية .
* هى تعريفات لانستطيع الحكم عليها بانها صحيحة او خاطئة فاذا اعتبرناها نظرية وجب البرهنة عليها ، واذا لم نقدر على ذلك وجب اعتبارها مصادرة ، وهذا معناه ان التعريفات الاقليدية فى حقيقتها عبارة عن مصادرات .
* انتقد بلانشى ايضا بديهية اقليدس ( الكل اكبر من الجزء ) معتبرا انها بديهية خاطئة وليست صحيحة ، اذ ثبت انها صحيحة فقط فى المجموعات المنتهية .
* انتقد بلانشى البديهية ايضا معتبرا انها صحيحة وصادقة ولاتحتاج الى برهان فى المنطق القديم لكن فى الرياضيات المعاصرة البديهيات قضايا يجب البرهنة على صحتها واذا لم نتمكن من ذلك وجب اعتبارها مسلمة أى مصادرة .
* اما المصادرات فباعتبارها مسلمات او موضوعات لانستطيع البرهنة عليها فففيها تسليم بالعجز ، من هنا يعتبربلانشى ان أنسب مبدأ للرياضيات هو مبدأ المصادرات أى المسلمات أو الفرضيات .
* من هنا فإن هندسة إقليدس لم تعد توصف بالكمال المطلق ، ولا تمثل اليقين الفكري الذي لايمكن نقضه ، لقد اصبحت واحدة من عدد غير محدود من الهندسات الممكنة التي لكل منها مسلماتها الخاصة بها .
* من هذا المنطلق ظهرت في القرن التاسع عشر أفكاراً رياضية هندسية جديدة تختلف عن رياضيات إقليدس وسميت بنظرية النسق الاكسيوماتيكي أوبالهندسات اللا إقليدية ، وتجلى ذلك بوضوح من خلال اعمال العالمين الرياضيين لوباتشيفسكي الروسي وريمان الالماني .

في سنة 1830م شكك العالم الرياضى الروسى لوباتشيفسكى lobatchevsky 1793-1857م ) فى مصادرات إقليدس السابق ذكرها وتمكن من الإهتداء الى الأساس الذى بنيت عليه ، وهو المكان الحسى المستوى ، وهكذا تصور مكانا اخر يختلف عنه وهو المكان المقعراى الكرة من الداخل ، وفى هذه الحالة تمكن من الحصول على هندسة تختلف عن هندسة اقليدس ، أى من خلال هذا المكان أعلن لوباتشيفسكى انه بامكاننا ان نرسم متوازيات كثيرة من نقطة خارج مستقيم ، والمثلث تصير مجموع زواياه اقل من 180 درجة .
وفي سنة 1854م شكك الالمانى ريمان 1826-1866م riemane هو الاخر فى مصادرات اقليدس وتمكن من نقضها على أساس اخر ، فتصور المكان محدودبا أى الكرة من الخارج وأستنتج بناءا على ذلك هندسة جديدة ترى انه لا يمكن رسم أى مواز من نقطة خارج مستقيم ، وكل مستقيم منتهى لانه دائرى وجميع المستقيمات تتقاطع فى نقطتين فقط والمثلث مجموع زواياه اكثر من 180درجة .

مناقشة ( نقد الاطروحة ) :
اذا كانت الرياضيات المعاصرة قد اسقطت فكرة البداهة والوضوح والكمال واليقين والمطلقية في الرياضيات الكلاسيكية ، واذا كان الرياضي المعاصر حر في اختيار مقدمات برهانه فهذا لا يعني ان يتعسف في اختياره ووضعها بل يجب ان يخضع في وضعها الى شروط منطقية صارمة تنسجم فيها هذه المقدمات مع نتائجها انسجاما منطقيا ضروريا .

التركيب بين الاطروحتين :
من خلال ما سبق عرضه نلاحظ ان تعدد الانساق الرياضية لا يقضي على يقين كل واحد منها ، فكل هندسة صادقة صدقا نسقيا اذا اخذت داخل النسق الذي تنتمي اليه لاخارجه وفي هذا المعنى يقول الفرنسي روبير بلانشي (( أما بالنسبة للانساق في حد ذاتها فلم يعد الامر يتعلق بصحتها او بفسادها اللهم الا بالمعنى المنطقي للانسجام او التناقض الداخلي ، والمباديء التي تحكمها ليست سوى فرضيات بالمعنى الرياضي لهذا المصطلح )) .

الخاتمة ( حل المشكلة ) :
من خلال ما سبق نستنتج ما يلي :

* إن الرياضيات الاقليدية لم تعد توصف بالكمال والمطلقية ، ولم تعد تمثل اليقين الرياضي الوحيد الذي لا يمكن نقضه ، بل غدت واحدة من عدد غير محدود من الهندسات الممكنة التي لكل منها مسلماتها الخاصة بها . ولذلك فأن تعدد الانساق الرياضية هو دليل على خصوبة الفكر في المجال الرياضي وليس التعدد عيبا ينقص من قيمتها او يقينها .
* كما ان المعرفة الرياضية لا تكتسب الصفة اليقينية المطلقة الا في سياق منطلقاتها ونتائجها ، وهذه الصفة تجعل من حقائقها الرياضية حقائق نسقية .
* كما ان البرهنة في الرياضيات انطلقت من منطق استنتاجي يعتقد في صدق مبادئه ومقدماته الى منطق فرضي يفترض صدق مبادئه ومقدماته .

[الاستاذ على الدين يحيى]

تطور موضوع الرياضيات من "الكائنات" الى البنيات...اي من نسقها الاقليدي الكلاسيكي الى نسقها الاكسيومي


لا يتعلق الامر هنا بالتاريخ للرياضيات ككشوف وانجازات ، ان ما يهمنا هو تتبع مسار التفكير الرياضى ذاته : كيف يفكر الرياضيون ، وفيم يفكرون؟ وبما ان الرياضيات ظلت على الدوام – وما زالت- النموزج الاعلى للمعقولية ، فان الامر يتعلق بكيفية عامة بتتبع تطور التفكير العقلانى من افلاطون وارسطو الى العصر الحاضر وذلك من خلال تطور الفكر الرياضى موضوعا ومنهاجا، عبر عملية تطورية متسلسلة ، عامة ومتواصلة.

يقال عادة : يتميز علم من العلوم ، عن بقية العلوم ، بموضوعه ومنهاجه ، وان طبيعة الموضوع تحدد طبيعة المنهاج . وهذا صحيح بكيفية عامة ، ولكنه غير صحيح صحة مطلقة . واذا شئنا النظر الى تطور الرياضيات من هذه الزاوية امكننا القول : كانت الرياضيات الكلاسيكية تتميز (بالتمييز) بين الموضوع والمنهاج ، وان الرياضيات الحديثة تتميز عن الرياضيات الكلاسيكية ، وعن بقية العلوم بدمج الموضوع فى المنهاج، والمنهاج فى الموضوع .

موضوع الرياضيات فى الفكر الرياضى الكلاسيكى هو "المقادير القابلة للقياس" اى المقادير الكمية التى تصنف الى صنفين: كم منفصل (الحساب) وكم متصل (الهندسة) . وكلاهما – فى التصور الفلسفى الكلاسيكى – يرجع الى معطيات اولية اى الى افكار فطرية تشكل المحتوى الخاص بالعقل.

والمنهاج الرياضى – فى الفكر الرياضى الكلاسيكى دوما- كان يقوم ، نظرا لطبيعة الموضوع ، على الحدث والاستنتاج : حدث "الحقائق البديهية " و"الافكار الفطرية" واستنتاج حقائق جديدة من تلك . الحدث يمد الرياضيات بعنصر الخصوبة والاستنتاج يمنحها التماسك المنطقى.

ظلت الرياضيات على هذا الشكل – ومعها التفكير الفلسفى العقلانى كله - الى ان ادى نموها الداخلى العقلانى الى قيام ازمة عرفت ب"ازمة الاسس" وهى فى الحقيقة والواقع ازمة نمو، ازمة تحقيق الوحدة العضوية للرياضيات : وحدة الموضوع ووحدة المنهاج : رد الكم المتصل الى الكم المنفصل والاستغناء بالاستنتاج عن الحدس.

لكن هذا النزوع نحو الوحدة سرعان ما اصطدم بعقبات خطيرة :

* فمن جهة ادى التطور بالرياضيات الى تجاوز مايقبل القياس الى ما لا يقبله واصبحت تدرس الكم والكيف معا ، فتعددت بذلك فروع الرياضيات ، واصبح التعدد يهدد الوحدة ، والانفكاك يطغى على التماسك . فتعددت انواع "الكائنات" الرياضية ، منها ما يمكن ان يوجد له مقابل فى الواقع ومنها ما هو من نسج الخيال المحض.

* ومن جهة اخرى ساد الجبر على الهندسة وطغى المنطق على الجبر ، واصبحت الرياضيات مهددة بالعقم . ان المنطق الذى شيده ارسطو يقوم على القياس . والقياس الارسطى كما لاحظ الفلاسفة ،منذ قرون ، قياس او استدلال غير منتج : لان النتيجة متضمنة فى المقدمات فهل ستقبل الرياضيات التى امتازت دوما بالخصوبة ، بهذا المصير الذى يجعل منها مجرد عبارات تكرارية او "تحصيل حاصل"؟.

كانت ازمة النمو فى بدايتها مع بداية هذا القرن . وتلك فى الحقيقة البداية المكتملة للرياضيات الحديثة التى بلغت الان مرحلة النضج ... مرحلة تحققت فيها الوحدة العضوية بين الموضوع والمنهاج ، بين الاصول والفروع .. ومع قيام الرياضيات الحديثة بدأت ارهاصات لعقلانية جديدة تختلف عن العقلانية الكلاسيكية اختلاف الرياضيات المعاصرة عن الرياضيات القديمة.

لم تعد الرياضيات تدرس ما يسمى ب"الكائنات" الرياضية . لقد اتضح للرياضيين ان "الكائن " الرياضى "شئ " لا وجود له .

* لم يعد موضوع الرياضيات هو تلك الحقائق البديهية التى جعلت منها العقلانية الكلاسيكية عملتها الصعبة ان م وضوع الرياضيات هو العلاقات وبكلمة ادق "البنيات.. وبالتحول من الكائنات الى البنيات صار واضحا ان فروع الرياضيات ليست فروعا مستقلة ، وانما هى اشكال من البنيات تجمعها خصائص جوهرية مشتركة.

* ولم يعد المنهاج الرياضى حدسيا او استنتاجيا بالمعنى القديم لكلمة استنتاج بل اصبح عبارة عن جملة من الاجراءات والتحويلات التى تجرى على تلك البنيات ... لم يعد الستنتاج عبارة عن الكشف عما هو متضمن فى المقدمات... بل هو " جملة اجراءات تجرى على معطى ما لاستخلاص الجديد منه . فليست المسألة مسألة تحصيل حاصل .. او مجرد تكرار ... بل هى تحصيل حاصل جديد من حاصل قديم اذا صح هذا التعبير.

نعم بقيت العلاقة بين المنطق والرياضيات وطيدة جدا ... ولكن لا بالمعنى الذى فهمت به هذه العلاقة فى اوائل هذا القرن . لم تعد الرياضيات ترتد الى المنطق ، وانما "اصبح المنطق مجرد لغة يستخدمها الرياضيون، تماما مثلما يستعمل الناس لغة من اللغات قبل ان تصاغ قواعدها النحوية" وبذلك حلت مشكلة الصراع بين الرياضيات والمنطق، لقد امتصت الرياضيات المنطق ، منطق الفلاسفة ، واصبح المنطق ، ان لم يكن كله فجله، " نظرية فى البنيات المنطقية ، اى نظرية فى بعض البنيات الجبرية".

وهكذا ، فبواسطة البنيات الاولية حققت الرياضيات وحدتها : وحدة الموضوع ووحدة المنهاج، ووحدة الموضوع والمنهاج معا . لقد تمكنت اخيرا من تحقيق وحدة الفكر وصياغة لغة مشتركة لمختلف البنيات، انه مظهر من مظاهر التقدم الرائع الذى حققه الفكر البشرى فى هذا القرن.

ومع التحول من "الكائنات" الى البنيات ، وامتصاص الرياضيات للمنطق ، اصبحت الفلسفة الرياضية من اختصاص الرياضيين انفسهم . انه تحول سد النوافذ فى وجه الفيلسوف ... واصبح صعبا عليه الاطلالة على ما يجرى فى المحراب الرياضى الى اذا دخل البيوت من ابوابها ... الى اذا تحول هو نفسه الى عالم رياضى.

ومع ذلك ، بل بسبب من ذلك، اخذ الفكر الفلسفى يتلمس الحل لكثير من مشاكله القديمة بفضل منجزات الفكر العلمى ... واصبح امام نظرية فى المعرفة جديدة وعلمية تحققت فيها – او تكاد – وحدة الرؤيا . فالتقت نتائج التقدم الرياضى مع نتائج التقدم فى ميادين اخرى ، كالفيزياء وعلم النفس وعلم الاجتماع ... واصبح التأويل الذى يعطيه الرياضى لمشكل المعرفة قريبا جدا من ذلك الذى يقدمه العالم الفيزيائى والعالم السيكولوجى... وبذلك اخذت تتحقق بشكل اعمق واشمل وحدة الفكر البشرى المبدع الخلاق.

[الاستاذ على الدين يحيى]

تواريخ مهمة في الرياضيات

3000 ق.م استخدم قدماء المصريين النظام العشري. وطوروا كذلك الهندسة وتقنيات مساحة الأ راضي.
370 ق.م عرف إيودكسس الكندوسي طريقة الاستنفاد، التي مهدت لحساب التكامل.
300 ق.م أنشأ إقليدس نظامًا هندسيًا مستخدمًا الاستنتاج المنطقي.
787م ظهرت الأرقام والصفر المرسوم على هيئة نقطة في مؤلفات عربية قبل أن تظهر في الكتب الهندية.
830م أطلق العرب على علم الجبر هذا الاسم لأول مرة.
835م استخدم الخوارزمي مصطلح الأصم لأول مرة للإشارة للعدد الذي لا جذر له.
888م وضع الرياضيون العرب أولى لبنات الهندسة التحليلية بالاستعانة بالهندسة في حل المعادلات الجبرية.
912م استعمل البتاني الجيب بدلا من وتر ضعف القوس في قياس الزوايا لأول مرة.
1029م استغل الرياضيون العرب الهندسة المستوية والمجسمة في بحوث الضوء لأول مرة في التاريخ.
1142مترجم أديلارد ـ من باث ـ من العربية الأجزاء الخمسة عشر من كتاب العناصر لأقليدس، ونتيجة لذلك أضحت أعمال أقليدس معروفة جيدًا في أوروبا.
منتصف القرن الثاني عشر الميلادي. أُدْخِلَ نظام الأعداد الهندية ـ العربية إلى أوروبا نتيجةً لترجمة كتاب الخوارزمي في الحساب.
1252م لفت نصير الدين الطوسي الانتباه ـ لأول مرة ـ لأخطاء أقليدس في المتوازيات.
1397م اخترع غياث الدين الكاشي الكسور العشرية.
1465م وضع القلصادي أبو الحسن القرشي لأول مرة رموزًا لعلم الجبر بدلاً عن الكلمات.
1514م استخدم عالم الرياضيات الهولندي فاندر هوكِي اشارتي الجمع (+) والطرح (-) لأول مرة في الصيغ الجبرية.
1533م أسس عالم الرياضيات الألماني ريجيومونتانوس، حساب المثلثات كفرع مستقل عن الفلك.
1542م ألف جيرولامو كاردانو أول كتاب في الرياضيات الحديثة.
1557م أدخل روبرت ركورد إشارة المساواة (=) في الرياضيات معتقدًا أنه لا يوجد شيء يمكن أن يكون أكثر مساواة من زوج من الخطوط المتوازية.
1614م نشر جون نابيير اكتشافه في اللوغاريتمات، التي تساعد في تبسيط الحسابات.
1637م نشر رِينيه ديكارت اكتشافه في الهندسة التحليلية، مقررًا أن الرياضيات هي النموذج الأمثل للتعليل.
منتصف العقد التاسع للقرن السابع عشرالميلادي. نشر كل من السير إسحق نيوتن وجوتفريد ولهلم ليبنتز بصورة مستقلة اكتشافاتهما في حساب التفاضل والتكامل.
1717م قام أبراهام شارب بحساب قيمة النسبة التقريبية حتى 72 منزلة عشرية.
1742م وضع كريستين جولدباخ ما عُرف بحدسية جولدباخ: وهو أنّ كلّ عدد زوجي هو مجموع عددين أوليين. ولا تزال هذه الجملة مفتوحة لعلماء الرياضيات لإثبات صحّتها أو خطئها.
1763م أدخل جسبارت مونيي الهندسة الوصفية وقد كان حتى عام 1795م يعمل في الاستخبارات العسكرية الفرنسية.
بداية القرن التاسع عشر الميلادي. عمل علماء الرياضيات كارل فريدريك جوس ويانوس بولْياي، نقولا لوباشيفسكي، وبشكل مستقل على تطوير هندسات لا إقليدية.
بداية العقد الثالث من القرن التاسع عشر. بدأ تشَارْلْز بَبَاج في تطوير الآلات الحاسبة.
1822م أدخل جين بابتست فورييهٌْ تحليل فورييه.
1829م أدخل إفاريست جالوا نظرية الزمر.
1854م نشر جورج بولي نظامه في المنطق الرمزي.
1881م أدخل جوشياه وِيلارد جبس تحليل المتجهات في ثلاثة أبعاد.
أواخر القرن التاسع عشر الميلادي. طور جورج كانتور نظرية المجموعات والنظرية الرياضية للمالانهاية.
1908م طور إرنست زيرميلو طريقة المسلمات لنظرية المجموعات مستخدمًا عبارتين غير معروفتين وسبع مسلمات.
1910-1913م نشر أَلفرد نورث وايتهيد وبرتراند رسِل كتابهما مبادئ الرياضيات وجادلا فيه أنّ كل الفرضيات الرياضية يمكن استنباطها من عدد قليل من المسلمات.
1912م بدأ ل. ي. ج. برلور الحركة الحدسية في الرياضيات باعتبار الأعداد الطبيعية الأساس في البنية الرياضية التي يمكن إدراكها حدسيًا.
1921م نشر إيمي نوذر طريقة المسلمات للجبر.
بداية الثلاثينيات من القرن العشرين الميلادي. أثبت كورت جودل أن أي نظام من المسلمات يحوي جملاً لا يمكن إثباتها.
1937م قدم أَلانْ تُورنْج وصفًا لــ " آلة تَورنج " وهي حاسوب آلي تخيلي يمكن أن يقوم بحل جميع المسائل ذات الصبغة الحسابية.
مع نهاية الخمسينيات وعام 1960م دَخَلت الرياضيات الحديثة إلى المدارس في عدة دول.
1974م طور روجر بنروز تبليطة مكونة من نوعين من المعينات غير متكررة الأنماط. واكتشف فيما بعد أن هذه التبليطات التي تدعي تبليطات بنروز تعكس بنية نوع جديد من المادة المتبلورة وشبه المتبلورة.
سبعينيات القرن العشرين ظهرت الحواسيب المبنية على أسس رياضية، واستخدمت في التجارة والصناعة والعلوم.
1980م بحث عدد من علماء الرياضيات المنحنيات الفراكتلية، وهي بنية يمكن استخدامها لتمثيل الظاهرة الهيولية.

[الاستاذ على الدين يحيى]

أهمية الرياضيات

يمكن تقسيم الرياضيات إلى رياضيات بحتة ورياضيات تطبيقية.

وتهتم الرياضيات البحتة بتطوير المعرفة الرياضية لذاتها دون اعتبار لتطبيق حالي عاجل، فمثلاً، قد يبتدع أحد علماء الرياضيات عالمًا خياليًا لكل شيء فيه أبعاد أخرى غير الطول والعرض والارتفاع. وتهتم الرياضيات التطبيقية بتطوير أساليب رياضية لتستخدم في العلوم والمجالات الأخرى.

والحدود بين الرياضيات البحتة والتطبيقية ليست دائمًا واضحة. فغالبًا ما تجد تطبيقات عملية لأفكار طورت في الرياضيات البحتة، وكثيرًا ما تقود أفكار في الرياضيات التطبيقية إلى أبحاث في الرياضيات البحتة.

ويتأثر كل جزء من حياتنا تقريبًا بالرياضيات. ولعبت الرياضيات دورًا أساسيًا في تطور التقنية الحديثة ـ كالأدوات، والتقنيات، والمواد، ومصادر الطاقة التي جعلت حياتنا وعملنا أكثر يسرًا.

في الحياة اليومية. تتدخل الرياضيات في تفاصيل حياتنا اليومية البسيطة منها والمعقدة. ففي الأمور البسيطة نتعرف على الوقت، وباقي نقودنا بعد شراء شيء ما، وفي الأمور المعقدة كتنظيم ميزانية البيت أو تسوية دفتر الشيكات.وتستخدم الحسابات الرياضية في الطبخ والقيادة والبستنة، والخياطة، ونشاطات عامة عديدة أخرى. وتؤدي الرياضيات كذلك دورًا في العديد من الهوايات والألعاب الرياضية.

في العلوم. للرياضيات دور هام في جميع الدراسات العلمية تقريبًا إذ تساعد العلماء على تصميم تجاربهم وتحليل بياناتهم. ويستخدم العلماء الصيغ الرياضية لتوضيح ابتكاراتهم بدقة، ووضع التنبؤات المستندة إلى ابتكاراتهم.

وتعتمد العلوم الفيزيائية، كغيرها من العلوم مثل الفلك، والكيمياء إلى حد كبير على الرياضيات. كما تعتمد العلوم الإنسانية كالاقتصاد، وعلم النّفس، وعلم الاجتماع بقدر كبير على الإحصاء وأنواع أخرى في الرياضيات. فمثلاً، يستخدم الاقتصادي الحاسوب لتصميم رياضي للأنظمة الاقتصادية . وتستخدم نماذج الحاسوب هذه مجموعة من الصيغ لمعرفة مدى التأثير الذي قد يحدثه تغير في جزء من الاقتصاد على الأجزاء الأخرى.

في الصناعة. تساعد الرياضيات الصناعة في التصميم، والتطوير، واختبار جودة الإنتاج والعمليات التصنيعية. فالرياضيات ضرورية لتصميم الجسور، والمباني،والسدود والطرق السريعة، والأنفاق، والعديد من المشاريع المعمارية والهندسية الأخرى

في التجارة. تُسْتَخْدَم الرياضيات في المعاملات المتعلقة بالبيع والشراء. وتكمن حاجة الأعمال التجارية الى الرياضيات في حفظ سجلات المعاملات كمستويات الأسهم، وساعات عمل الموظفين ورواتبهم. ويستخدم المتعاملون مع البنوك الرياضيات لمعالجة واستثمار سيولتهم النقدية. وتساعد الرياضيات كذلك شركات التأمين في حساب نسبة المخاطرة وحساب الرسوم اللازمة لتغطية التأمين.

[الاستاذ على الدين يحيى]

قارن بين الرياضيات و المنطق؟

الطريقة مقارنة.

1/المقدمة:أـ تمهيد:إشارة إلى العلوم المختلفة التي أبدعها الإنسان و التي من بينها العلوم العقلية كالمنطق والرياضيات.

ب ـ طرح الاشكال: إذا كان المنطق و الرياضيات من العلوم العقلية فهل هما متفقان أم وراء هذا الاتفاق الظاهري اختلاف جوهري؟

2/ التوسيع:من تعريفها:

1ـ أوجه الاتفاق:هما إنتاج عقلي

ـ يهتمان بدراسة المواضيع المجردة (الفكر و الكم)

ـ يتفقان في المنهج(استنتاجيان)

2 ـ أوجه الاختلاف: ـالرياضيات:

1ـ التعاريف والبديهيات في الرياضيات أكثر.

2ـ الرياضي حر كأن يمدد الخطوط ينصف الزوايا...

3ـ الرياضيات يمكن أن تكون استقرائية ايضا

4ـ الرياضيات منتحية و الخصبة ( بونكاري، غوبلو، )

5ـ نتائج الرياضيات صحيحة دائما لأنّها تعتمد على قضايا سبق التسليم بها و تدرس قضايا مجردة لا علاقة لها بالواقع.

6ـ تاريخيا الرياضيات ظهرت في القرن ال6 ق م هذا عند اليونان فقط.( على طاليس )

7 ـ العلاقة في الرياضيات هي علاقة مساواة أو عدم مساواة.

8 ـ الرياضيات تستعمل الرموز.

9 ـ موضوعها الكم المجرد بنوعيه المتصل و المنفصل

أمّا المنطق:

ـ التعاريف قليلة و البد يهيات 3 فقط (ما يصدق على الكل يصدق على الجزء، المساويان لثالث متساويان، مبدأ الهوية.)

ـ المنطقي مقيد بمقدمتين و بشروط.....

المنطق استنتاجي دوما.

ـ المنطق عقيم و مصادرة على المطلوب (ابن تيمية،القول ، ج س مل).

ـ المنطق لا يكون صحيحا إلا وفق الشروط أو القواعد العامة والخاصة كما يرى أرسطو.

ـ المنطق ظهر في القرن ال3 ق م على يد أرسطو.

ـ العلاقة في المنطق هي علاقة استغراق أو عدم استغراق.

ـ المنطق يستعمل الألفاظ.

ـ موضوع المنطق الفكر السليم.

3/ مواطن التداخل: إن كل من المنطقي و الرياضي لا يفعل أي شيء إذا لم يعتمد على مبادئ العقل، و يمكن أن يعتمد المنطق على الرياضيات باستعارته لرموزها ( المنطق الرياضي ) و الرياضيات المعاصرة استعملت المنطق أساسا لها و هذا ما سمح بظهور النسق الأكسيومي. إذن فالعلاقة هي علاقة تكامل.

الخاتمة: نسبة الترابط:

إن الرياضيات رغم من طابعها التجريدي فإنها تدرس الكون و تـقيسه قياسا كميا و بذلك ساعدت على تطور المعرفة العلمية التي تتصف بالكمية. و المنطق يهتم بالفكر و يصونه من الوقوع في التناقض، فبواسطة المنطق يكون فكرنا سليم، و يكون أداة لا قناع الآخرين و إيضاح للمعارف... و عليه كلا العلمين أداة في تطوير معارف الإنسان و خدمته.

[الاستاذ على الدين يحيى]

ما علاقة الرياضيات بالعلوم التجريبية ؟

الطريقة مقارنة :

المقدمة :

أ\ تمهيد : يبدو من الوهلة الاولى أن الرياضيات ذات الطابع العقلي تختلف عن العلوم الطبيعية التجريبية ...

ب / طرح الاشكال : فهل هناك علاقة بينهما رغم هذا الاختلاف ؟

التحليل :

أ ـ اوجه الاتفاق :1 ـ نشات الرياضيات نشاة حسية الهندسة عند الفراعنة و الطفل و البدائي، مثلها مثل العلوم الطبيعية

2 كل منهما نتاج تفكير،ـ يصلان الى نتائج،ـ يكونان مفاهيم، ـ يكتشفان قوانين

3 قوانين العلوم و قواعد الرياضيات تتسم كلها بالتعميم ، ولا تقف عند الجزئية الواحدة .أرسطو :"لا علم الاّ بالكليات".4 لغتهما معا رموز.

ب ـ اوجه الاختلاف : الرياضيات ـ موضوعها مجرد ، ـ منهجها استنتاجي و قدج يكون استقرائي ، ـ طابعها تجريدي ، ـ قضاياها تحليلية و في نفس الوقت تركيبية، ـ الصدق فيها صوري ، ـ تتصف بالدقة و اليقين اكثر .

أما العلوم الطبيعية : ـ موضوعها مادي ، ـ منهجها استقرائي دوما، ـ طابعها تجريبي ، ـ قضاياها تركيبية ، ـ الصدق فيها واقعي تجريبي ، ـ تتصف بدقة و يقين أقل .

ج ـ مواطن التداخل : ان العالم الطبيعي يتاثر بالرياضي حينما يصوغ قوانينه بشكل رياضي و الرياضي يزداد يقينا حينما تثبت التجربة صحة استدلاله < عد الى تاثير الرياضيات في العلوم > كما أن المفاهيم الرياضية تصورات خاوية ما لم تجسد في العلوم .

خاتمة : ان العلم في تطور نحو الدقة و الضبط و مرد ذلك الى الاستعانة بالرياضيات ، و الرياضيات كانت لها قيمة لحاجة العلوم اليها و عليه فهما متكاملان .





فروع الرياضيات

للرياضيات فروع عديدة. وقد تختلف هذه الفروع في نوعية مسائلها والتطبيقات العملية لنتائجها. وعلى أية حال، فغالبًا مايشترك علماء الرياضيات العاملون في شتى الفروع في استخدام نفس المفاهيم والعمليات الأساسية. ويناقش هذا البند بعض الأنواع الأساسية في الرياضيات.
الحساب. يشمل دراسة الأعداد الصحيحة والكسور والأعداد العشرية وعمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة. وهو بمثابة الأساس لأنواع الرياضيات الأخرى حيث يقدم المهارات الأساسية مثل العد وتجميع الأشياء والقياس ومقارنة الكميات

الجبر. خلافًا للحساب، فالجبر لا يقتصر على دراسة أعداد معينة، إذ يشمل حل معادلات تحوي أحرفًا مثل س وص، تمثل كميات مجهولة. كذلك يستخدم في العمليات الجبرية الأعداد السالبة والأعداد الخيالية (الجذور التربيعية للأعداد السالبة).

الهندسة. تدرس الهندسة خواص وعلاقات الأشكال في الفضاء. وتدرس الهندسة المستوية المربعات والدوائر والأشكال الأخرى في المستوى، وتُعنى الهندسة الفراغية بدراسة الأشكال ذات الأبعاد الثلاثة مثل المكعب والكرة.

وفي حوالي 300 ق.م، وضع عالم الرياضيات الإغريقي إقليدس، تعاريف وفرضيات نظام للهندسة يصف العالم كما نعيشه. وفيما بعد طوّر علماء الرياضيات نظمًا بديلة للهندسة رفضت فرضية إقليدس المتعلقة بالمستقيمات المتوازية. وقد أثبتت هذه الهندسات المخالفة لفرضية إقليدس (الهندسة اللاإقليدية) فائدتها ـ على سبيل المثال ـ في النظرية النسبية التي تُعَدُّ واحدة من الإنجازات القيّمة للتفكير العلمي

الهندسة التحليلية وحساب المثلثات. تربط الهندسة التحليلية بين الجبر والهندسة، فهي تعطي تمثيلاً لمعادلة جبرية بخط مستقيم أو منحنٍ. وتجعل من الممكن التعبير عن منحنيات عدة بمعادلات جبرية، ومثال على ذلك: فإن المعادلة س= ص² تصف منحنى يُسمى القطع المكافئ.

ويستخدم الفلكيون والبحارة والمساحون حساب المثلثات بشكل كبير لحساب الزوايا والمسافات في حالة تعذر القياس بطريقة مباشرة. ويبحث حساب المثلثات في العلاقة بين أضلاع وزوايا المثلث، وعلى الأخص المثلث قائم الزاوية (مثلث إحدى زواياه 90°). وتسمى العلاقات بين أطوال ضلعين في مثلث قائم الزاوية بالنسب المثلثية. وباستخدام هذه النسب يمكن حساب الزوايا وأطوال أضلاع المثلث غير المعلومة من الزوايا والأطوال الأخرى المعلومة. وتصف المعادلات المتضمنة لنسب مثلثية المنحنيات التي يستخدمها الفيزيائيون والمهندسون لتحليل خواص الحرارة والضوء والصوت والظواهر الطبيعية الأخرى

حساب التفاضل والتكامل والتحليل. له تطبيقات عدة في الهندسة والفيزياء والعلوم الأخرى. ويمدنا حساب التفاضل والتكامل بطرائق لحل عديد من المسائل المتعلقة بالحركة أو الكميات المتغيرة. ويبحث حساب التفاضل في تحديد معدل تغير الكمية. ويستخدم لحساب ميل المنحنى والتغير في سرعة الطلقة. أما حساب التكامل فهو محاولة إيجاد الكمية بمعلومية معدل تغيرها، ويستخدم لحساب المساحة تحت منحنى ومقدار الشغل الناتج عن تأثير قوة متغيرة. وخلافًا للجبر، فإن حساب التفاضل والتكامل يتضمن عمليات مع كميات متناهية الصغر (كميات صغيرة ليست صفرًا ولكنها أصغر من أي كمية معطاة).

ويتضمن التحليل عمليات رياضية متعددة تشمل اللانهاية والكميات المتناهية الصغر. ويدرس التحليل المتسلسلات اللانهائية وهي مجاميع غير منتهية لمتتابعات عددية أو صيغ جبرية. ولمفهوم المتسلسلات اللانهائية تطبيقات مهمة في مجالات عدة مثل دراسة الحرارة واهتزازات الأوتار

الاحتمالات والإحصاء. الاحتمالات دراسة رياضية لمدى احتمال وقوع حدث ما. ويُسْتَخْدَم لتحديد فرص إمكانية وقوع حادث غير مؤكد الحدوث. فمثلاً، باستخدام الاحتمالات يمكن حساب فرص ظهور وجه القطعة في ثلاث رميات لقطع نقدية

أما الإحصاء فهو ذلك الفرع من الرياضيات الذي يهتم بجمع البيانات وتحليلها لمعرفة الأنماط والاتجاهات العامة. ويعتمد الإحصاء إلى حد كبير على الاحتمالات. وتزود الطرق الإحصائية الحكومات، والتجارة، والعلوم بالمعلومات. فمثلاً، يَسْتَخْدم الفيزيائيون الإحصاء لدراسة سلوك العديد من الجزيئيات في عينة من الغاز

نظرية المجموعات والمنطق. تبحث نظرية المجموعات في صفات وعلاقات المجموعات. والمجموعة هي تجمع من الأشياء، قد تكون أعدادًا، أو أفكارًا أو أشياء أخرى. وتكمن أهمية دراسة المجموعات في التحقق من المفاهيم الرياضية الأساسية

أما في مجال المنطق ـ وهو ذلك الفرع من الفلسفة التي تتعامل مع قواعد التعليل الصحيح. فقد طور علماء الرياضيات المنطق الرمزي. وهو نظام اصطلاحي للتعليل يستخدم الرموز والطرق الرياضية. وقد استنبط علماء الرياضيات نظمًا عديدة للمنطق الرمزي، كانت لها أهميتها في تطوّْر الحاسوب.

[عبدة قورة]

اللهم صل على محمد وعلى آله وصحبه أجمعين

[winamin]

Econ122.29BettBettDarkFannJeweJeanHervKremGranDhabBOOKOrieBris TefaJameFiskGuruGoodLynnOrsoAssaXVIIAlicWallIrenCeraKeraWind HenrRichMavaMargJohnConcSupeYoghGeraAustGustBertWillFreuRobe SalaRoweAlexSpidKornHansXVIIGuilPublblacWindDolbStopYeahGioa dgarJohnStapGustWendAlexAquaXVIIHearPushVoguRajnDrWeTimoRTFX LiveWindGregHardLogoWindPapeInfiArtsXVIIBeraClamArtsTintIris SideAndrArtsFritdiamdiamSwarTracLouiMarrMaryKennBonuVitaSome GuilNichSTALShaaRamoLiveJameHopeKingToscNothLoviMiloPoweDAXX WritVestZigmSainMariRudoAmebBradPolaWillCubyJohnSQuiPerfLanz liceTextHardFlatBANGConnChinHellBatmSylvWindLANSorigTissBork BorkFranChoiPureHighLighEdwaTherMarrEricRespJDCrversEuweDale MarkTeubHeinVIIIVIIIrlesAmorWindJackSergNextPattFrauCentDarr RajnSincMacdAnarFranJacoRobeGerdQueeJerrWindBaseFMCGEnidMore TheyXVIIIrenMartSERGMichChriWindHanaAstrPowePowePoweKateLike McKeCarmCamiNighReadSounPresSkipDoctDebituchkasDiscLawr