اثبت أن : 3^س + 7^س + 3^ ( - س )+ 7^( - س ) > 4

[منير مراد]

إذا كان س عدد حقيقى لا يساوى الصفر فاثبت أن :
3^س + 7^س + 3^ ( - س )+ 7^( - س ) > 4

[الاستاذ على الدين يحيى]

العددان 3^س ، 3^ ( - س )
وسطهما الحسابى هو : [ 3^س + 3^( - س ) ] / 2
وسطهما الهندسى هو جذر [ 3^س × 3^( - س ) ] = جذر 3^0 = جذر الواحد = 1
بما أن الوسط الحسابى أكبر من الوسط الهندسى
إذن [ 3^س + 3^( - س ) ] / 2 > 1
أى أن : 3^س + 3^( - س ) > 2 ..................... (1)
وبالمثل : 7^س + 7^( - س ) > 2 ................... (2)
بجمع (1) ، (2) :
3^س + 3^( - س ) + 7^س + 7^( - س ) > 4
وهو المطلوب

[البرهان الرياضى]

الله ينور عليك
***********

[اسير الدموع]

هل ممكن ان ياتى مثل هذا النوع من المسائل فى الامتحان

[الاستاذ على الدين يحيى]

لا أعتقد ذلك مطلقاً

[اسير الدموع]

شكرا جزيلا على الاجابة

[ghaly6854]

الحل
أولا إثبات أن مجموع أى عدد موجب ( لا = 1 ) و مقلوبه > 2
الاثبات بفرض أن ع = 1 يكون ع - 1 لا = صفر
نجد أن (ع - 1) تربيع > صفر
و يكون ع تربيع - 2 ع +1 > صفر و يكون
ع تربيع + 1 > 2 ع ثم بقسمة الطرفين على ع ينتج المطلوب وبالتالى
يكون ع +1/ع + ص + 1/ص > 4 (بفرض أن ع = 3 أس س و ص = 7 أس س )